Независимо от возраста работника могут сократить. Относительно возраста работника, которого собираются сокращать,в Трудовом кодексе РФ просто нет никаких ограничений. При этом процедура увольнения по сокращению должна быть точно соблюдена и соответствовать нормам Закона.
После увольнения по сокращению человек должен обратиться в службу занятости, чтобы найти другую работу.
Если возможности трудоустроиться нет, законом предусмотрена процедура досрочного назначения пенсии.
В статье 261 Трудового Кодекса РФ чётко сказано, что могут. Изобилие детей в семье - не гарантия, что от плохой работницы ни при каких обстоятельствах не смогут избавиться. Это хоть и непросто, но вполне возможно. Женщину с любым количеством детей не могут сократить, если она единственный кормилец или мать-одиночка в семье, где:
- хотя бы один из детей не достиг 3-летнего возраста;
- на иждивении женщины находится инвалид в возрасте до 18 лет;
- у женщины трое и более малолетних детей.
Как видите, невозможность уволить упирается не в многодетность как таковую, а в отсутствие другого кормильца и наличие иждивенцев, которые сами не могут прожить без ухода со стороны женщины.
Работодатель может уволить даже при этих обстоятельствах, если речь идёт о нарушениях, описанных во втором пункте статьи 336:

а также при обстоятельствах, которые описаны в статье 81, а именно:

2) целым рядом грубых нарушений трудового договора, аморальным поведением - подробнее см. в пунктах 5-8;
3) а также в случаях (всё та же статья 81):

Многодетность, отсутствие другого кормильца или иные семейные обстоятельства учитываются в ТК РФ, но не являются волшебным колпаком, под которым нерадивая работница может чувствовать себя неприкосновенной при любых обстоятельствах.
Согласно статье 261 ТК РФ расторжение трудового договора с одинокой матерью, воспитывающей ребенка в возрасте до 14 лет (ребенка-инвалида до 18) по инициативе работодателя не допускается! В КАКИХ СЛУЧАЯХ МОГУТ УВОЛИТЬ МАТЬ-ОДИНОЧКУ: 1. ликвидация организация, либо прекращение деятельности физическим лицом, 2. неоднократное неисполнение без уважительных причин работником своих обязанностей, 3. грубое нарушение трудовых обязанностей, 4. совершение виновных действий работником, если эти действия дают основание для утраты доверия к работнику, 5. совершение работником, выполняющего воспитательные функции, аморальные действия, 6. если работник предоставил подложные документы при заключении трудового договора, 7. в случае применения педагогическим работником, в том числе однократное, методов воспитания , связанных с физическим и (или) психическим насилием, 8. по окончании срока срочного трудового договора. Сокращение возможно по причинам указанных выше.
Конечно, могут. В нашей стране сейчас все возможно. Могут даже сократить и беременную женщину, и даже женщину в декрете. А муж женщины в декрете вообще ни при чем, так что запросто уволят, если захотят.
Максимально разрешенная законом задержка при выдаче трудовой книжки составляет 3 рабочих дня. Сходите к работодателю и скажите чтобы почитал Трудовой кодекс повнимательней, может тогда поторопится с выдачей. Удачи!!!